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【摘 要】贝叶斯统计是高校统计学专业的主干课程之一，该课程的理论体系和思想方法与经典统计学存在着诸多不同之处。不少学生在学习贝叶斯统计方法时往往感觉困难重重。本文从贝叶斯教学实践出发，阐述了如何进行贝叶斯统计思想的课堂教学，以期达到良好的课堂效果。
【关键词】贝叶斯统计；贝叶斯方法；教学
中图分类号： O212.8-4 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）01-0072-002
【Abstract】Beysian statistics is one of the main course of universities whose theory system and ideology has many difference from those of the traditional statistics.Therefore，some students always find it hard to learn the course.In this paper，we discussed how to teach the ideology of Beysian statistics in the process of teaching in order to get better classroom teaching effect.
【Key words】Beysian statistics；Beysian method；Teaching
0 前言
英国学者托马斯·贝叶斯在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，直至贝叶斯去世两年以后的1763年12月23日，伦敦皇家学会会议上才公布了这篇遗世之作，从此贝叶斯定理诞生。随后，一些统计学者逐渐将其发展为一种系统的统计推断方法，称之为贝叶斯方法。贝叶斯统计内容相当丰富，包括贝叶斯公式，贝叶斯推断、先验分布的确定、贝叶斯决策和贝叶斯计算等内容。从国内外的文献资料来看，贝叶斯统计理论几乎可以作为每一个学科的研究工具之一，并且在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用。它既可以用于质量控制与评估、可靠性评价和物品的存储问题，又可以应用于事件频率的估计、犯罪学不完全记数的估计以及保险精算。尤其是，近年来贝叶斯统计理论在宏观经济预测中取得了巨大的成功。从模型的稳定性和预测精度两个方面来看，贝叶斯预测模型优于非贝叶斯模型，因此贝叶斯方法获得越来越多专家学者的认同。
贝叶斯统计最核心的内容是贝叶斯公式以及由贝叶斯公式衍生的贝叶斯推断以及预测等理论。在教学内容上，该课程侧重理论知识以及相关结论的理解和应用，计算复杂，公式繁多，对学生的学习构成较大挑战。从教学效果来看，一方面该课程学生不及格率偏高，部分学生反映较难；另一方面，由于部分学生打算出国继续深造，又必须保持该课程一定的理論深度。因此，如何对这门课程的理论知识进行教学是教学过程中的重点和难点。笔者在实际教学中发现，最基本的贝叶斯公式该如何引入和理解成为首要解决的知识难点。因此笔者在教学过程中从以前的概率论基础知识出发，循序渐进地引入贝叶斯公式，并具体阐明了公式的含义和应用，使得公式的理解变得更加自然。
此外，由于贝叶斯统计学和经典统计学在理念和思想方法上有着巨大的差异，笔者在课堂教学中，通过不断复习经典统计中的理论方法，再和贝叶斯方法加以比较，使学生在熟悉了以往知识点的基础上又加深了对新的贝叶斯理论的理解，了解了贝叶斯方法的特殊性和以及跟经典统计学相比巨大的优势。从而使教学过程深入浅出，易于接受。
为了提高学生的学习兴趣，体现贝叶斯统计方法的应用价值，我们不断优化教学内容，在兼顾学生后续学习的需要、夯实学生理论基础的同时，减少部分适用性较差，较为繁琐的理论证明内容。与此同时在教材之外增加了一些贝叶斯统计学在经济中应用的趣味性例子。
最后为了丰富教学手段，提高课堂教学效果，我们使用Python等统计软件具体计算一些经典的案例，收到了良好的反馈。
1 循序渐进引入贝叶斯公式
贝叶斯统计学与经典统计学最基本的区别之一在于贝叶斯统计学对总体的未知参数做估计时采用了未知参数的先验分布，这使得未知参数不再是一个固定的常数，而是一个随机变量。因此可以使用贝叶斯公式求得关于未知参数在抽取样本之后的分布——后验分布，得到后验分布之后就可以对参数进行一系列的统计推断。贝叶斯方法的分析过程可以概括为下图所示：
因此，首要的关键问题是如何使用贝叶斯公式得到后验分布，以及如何理解贝叶斯公式。为了使得在引入公式时不显得突兀，又能加深学生对公式含义的理解，在实际教学中，笔者先从经典的概率公式入手，循序渐进地导出贝叶斯公式。具体说明如下：
设θ是总体X～p（x"θ）中的未知参数，x=（x1，x2，…，xn）是从总体中抽取的一个样本，π（θ）是关于θ的先验分布，则贝叶斯公式为：
结合全概率公式和乘法公式可以推导出上述事件形式的贝叶斯公式（3）。由公式（3）的形式再给出离散形式参数θ的贝叶斯公式（2），最后给出连续形式的贝叶斯公式（1）。整个过程循序渐进，逐步引入贝叶斯公式，使得公式的理解变得容易，并且含义清晰，收到了良好的课堂效果。
2 在教学过程中始终贯穿比较教学法
由于贝叶斯方法和经典统计方法存在着本质性的差异，而贝叶斯方法又以经典统计学基础知识为前提。因此在教学过程中，我们始终将二者放在一起加以对照比较，在比较过程中既复习了以前的经典统计学知识，又使得新的概念更加清晰易懂，突出了贝叶斯方法的优点。例如，在讲述贝叶斯推断方法中的区间估计时，先回顾了经典统计中关于区间估计部分的内容，使得学生对这部分已学习过的知识熟悉之后，再具体介绍贝叶斯统计学的处理方法。相较之下，经典统计学的区间估计必须要先构造含有未知参数θ的一个统计量，并且要求这个统计量的分布已知，从而由这个统计量的置信区间解出总体未知参数θ的置信区间。而使用贝叶斯方法，在采用了未知参数θ的先验分布π（θ）之后，由贝叶斯公式可得到θ的后验分布π（θ|x），直接使用后验分布可求得θ的可信区间，其含义清晰，计算方法简单，使得学生领略到了贝叶斯方法的巨大的实用价值。在介绍贝叶斯点估计和假设检验时也采用了这种比较的教学方法，使得概念易于理解，方法易于掌握。
3 教学过程中引入一些趣味性的例子
贝叶斯统计是一门很实用的课程，在实践中有许多应用，在教学中可采用一些趣味性的例子以提高教学效果、引起学生的学习兴趣。这里有两个生动的例子：（1）Laplace在1786年研究了巴黎男婴的出生的比例θ，收集到1745-1770年在巴黎出生的婴儿数据，其中男婴251527个，女婴241945个，判断男婴的出生比例是否明显高于女婴？（茆诗松（2012））（2）伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没，第一天他在山上喊：“狼来了！狼来了！”山下的村民们闻声便去打狼，可到了山上，发现狼没有来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前二次他说了谎话，人们不再相信他了。使用贝叶斯统计来分析寓言中村民的心理活动。类似于这样的例子可以使学生感受到这门课的实践价值和趣味性。
4 采用数学软件辅助教学
参照王燕飞（2015）和李春娥（2015）中的办法，在进行一些复杂的例题计算时，可以采用一些数学软件来进行辅助计算。这里我们主要采用的教材为Allen B.Downey（2015）和John K.kruschke（2015），依据教材中的方法使用Python軟件计算一些有趣的案例，比如说曲奇饼问题、德军坦克问题、波士顿棕熊队问题、欧元问题等。这些案例既有趣味性又有强烈的现实背景，让学生不仅熟悉了Python软件的操作，又能体会到贝叶斯方法的重要性和实用价值，因而增加了学生学习的积极性。这种教学过程中辅以软件操作的教学方法改变了单一的粉笔加黑板的教学方式，既节省了时间又减轻了教师的负担，真正将贝叶斯统计在实践中应用起来，提高了课堂效果。
5 小结
以上简单介绍了一些贝叶斯统计教学上的方法。由于贝叶斯统计学是一门实用性很强的学科，其理论和方法在实践中得到不断发展和创新，所以在教学中还要不断进行探索，与日益发展成熟的理论相结合，以培养出实际需要的应用型人才。
【参考文献】
[1]茆诗松，汤银才.贝叶斯统计[M].第二版.中国统计出版社，2012.
[2]王燕飞.贝叶斯统计中后验分布的教学研究与探析[J].科技视界，2015（31）：180-181
[3]李春娥，等.贝叶斯公式及其应用的教学研究[J].大学数学，2015（02）.
[4]Allen B.Downey.贝叶斯思维：统计建模的后验分布的Python学习法[M].人民邮电出版社，2015.
[5]John K.kruschke.贝叶斯统计方法——R和BUGS软件数据分析示例[M].机械工业出版社，2015.
