高考对数学应用问题的考查已成为一项必不可少的内容，从数学模型的建立特征上，可概括为随机性模型与确定性模型．从近年的试卷题型看，以概率、统计为主的随机性试题已成为高考数学应用问题的主要形式，确定性数学应用问题虽受到一定的压缩，但并未因此退出高考舞台．作为一类传统的问题类型，确定性数学应用问题模型的存在除了保持我国数学教育的连续性价值外，所承载的数学内涵本身如微分的应用（导数）等，也有随机性应用问题所无法取代的必要性，高考对确定性数学应用问题的考查势必长期存在．因此，教学中不能厚此薄彼，这不仅是深刻领会课程标准对数学应用问题教育要旨的要求，也对全面提高学生解决数学应用问题的水平和能力，有极其重要的意义．
2009年是广东新课程现行高考方案实施的最后一次高考，考试的要求、内容，如强调通性通法、考查数学思想与应用能力、坚持“能力立意”等出卷理念不会发生大变化，平稳过渡、保持稳定仍是命题主流，这仍将引领和指导高考数学平时的教与学．
一、重视现行教材中基本的数学应用问题模型
对于高考数学应用问题的复习，首先应重视现行教材中基本的数学应用问题模型，源于课本一直是高考数学应用问题命题的惯常做法，如2008年山东与海南（宁夏）卷的茎叶图问题、上海卷的导航灯问题、湖南卷的行船问题等，都能在课本中找到原型或影子．
随着新课程改革的深化，对学生应用意识和能力的要求逐步加强已成事实，高考对学生建模的意识和能力的要求机制也日趋成熟．从命题趋势上看，试题情节集中与日常生产、生活中比较常态的现象，特别是优化问题．复习时应充分利用现行教材丰富多样的数学应用问题模型，进行不同情境、不同建模环节的常规化训练，掌握基本数学应用问题的处理方法；注重变式练习，在重要知识点的升华和综合运用上寻找提升学生水平的突破口．
二、关注时事性的原创数学应用问题模型
追求命题创新，考查学生的创新意识与能力，一直是高考命题的重要目标．复习时，要关注当代现实情境下的时事性原创数学应用问题模型，如2008年广东文科卷的奥运运动员集合题、陕西卷的奥运火炬接力题、湖北卷的“嫦娥一号卫星” 题等，题型背景新颖，蕴涵丰富的高中基本数学知识．适当编拟一些时事性的原创数学应用问题，作为教学材料，对培养学生的数学应用意识极有好处．
例1（2008年高考数学试题湖北理10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1=a2+c2；②a1-c1=a2-c2；③c1a2>a1c2；④＜.其中正确式子的序号是（）． A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
[评析]这是以我国发射首颗探月卫星——嫦娥一号绕月飞行为背景编制的原创数学应用问题，主要考查数学建模、椭圆的相关知识与基本运算技能．由题意知a1>a2，c1>c2，故①错；对于轨道Ⅰ有|PF|=a1-c1，轨道Ⅱ有|PF|=a2-c2，从而②正确；由②与a1>a2得<＜， 故选B．
当然，就嫦娥一号同一背景、着眼于探测器脱离地球引力的过程，可编拟如下问题：
[问题A] 我国发射首颗探月卫星——嫦娥一号卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．嫦娥一号卫星由长三甲运载火箭送入到运行周期约为16小时、近地点200公里、远地点51000公里的轨道．星箭分离之后，先在这条轨道运行两圈，在这个期间将在远地点作一次小的轨道机动，将近地点抬高到600公里．
在16小时轨道上运行第三圈到达近地点时，进行第一次大的轨道机动，将轨道周期变为24小时；在24小时轨道上运行三圈，再次到达近地点时，作第二次大的轨道机动，将轨道周期增加到48小时．
(I)假设星箭分离、近地点抬高到600公里之后，嫦娥一号卫星16小时轨道的近地点、远地点与地心在同一条直线上（并以此直线为横轴、近地点与远地点连线段的中点为坐标原点建立直角坐标系），地球的半径约为6370公里，求嫦娥一号卫星16小时轨道的方程（精确到1公里）．
(II)若嫦娥一号卫星16小时轨道、24小时轨道、48小时轨道都经过相同的近地点，请判断这三个轨道离心率的大小关系，并说明理由．
（提示：(I) +=1；注意到a-c为定值，易知16、24、36小时轨道离心率依次增加．）
三、熟悉一些常考常新的数学应用问题模型
近年来，高考数学试题出现了一些背景情节各异，但数学模型相同的数学应用问题．因而，高考数学应用问题的复习，务必要熟悉一些重要而常考不懈、不断出新的数学应用问题模型．如下述例2、例3的背景虽不同，但都用相同的数学模型——以函数y=f(x)=ax+(x>0,a>0,b>0)为模型，利用函数y=f(x)=ax+在区间(0,]上为减函数与在[，+∞）上为增函数以及均值不等式或导数作为解题的常用策略．其实2006年湖南理科卷清洗问题、2006年天津文理卷15题、2005年天津文理卷观塔题、2004年上海卷木料制作题、2001年广东、河南卷宣传画问题、2001年春季上海卷钢锭浇注容器题、1999年全国上海卷水沟题、1998年全国卷无盖长方体沉淀箱题、1997年全国卷运输成本题、1993年全国卷无盖水池造价题等等，用的都是这一模型．
例2（2008年高考数学试题湖北文19）如图（略），要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏间的中缝空白的宽度为5cm．怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形的面积最小？
例3（2008年高考数学试题广东文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：万元），为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
[评析] 例2、例3的数学模型都是函数y=ax+，需要根据题意，准确把握材料信息，自主建立适当的函数模型，对学生的建模意识、能力的总体要求较高；2006年上海高考数学试卷22题却通过y=x+的性态来考核合情推理等数学探究能力，令人耳目一新.对于例3，很容易使人联想到1999年全国高考“冷轧机”问题，题中出现较多的专业名词：平均综合费用、平均建筑费用、平均购地费用等，准确理解这些关键词及其关系（注解部分）是建立模型的关键，建模过程实质上就是把专业用语及其关系转化为数学符号和数学关系的过程．
例2与2001年广东、河南卷的宣传画问题（见问题C）一样，均属于怎样设计海报版面问题，虽然设问不同，但题目的实质并没有改变：
[问题B]现在要求设计一张单栏的竖向张贴海报，它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米，两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
思考题：若海报改为左右两栏，横向张贴，印刷面积增加到180平方分米，要求四周留下空白宽2分米，还要留1分米宽的竖直中缝，如何设计它的尺寸可使总空白面积最小？能否用其他方法求解？
值得提及的是，研究高考数学试题不是为了去猜题、押题，而是去发现试题中透析出的命题趋势和考查理念，以改进或提高数学教学的效益．最后，提供一道问题结束本文．
[问题C] 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[,]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
责任编辑罗峰
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
