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摘 要：材料力学是机械类工科专业本科生必修的一门重要课程。然而，传统的材料力学教学过于注重基础理论知识的讲授和解题技巧的训练，在理论联系实际方面存在不足。文章以数值模拟为手段，尝试将课题式教学的理念引入材料力學教学过程，给出了基于数值模拟的材料力学课题式教学设计的一般方法和一个具体的示范教学案例。该方法有助于培养学生分析问题、解决问题的科学素养以及提升利用计算机解决工程实际问题的能力，在教学实践中取得了良好的效果。
关键词：材料力学;数值模拟;课题式教学
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2019）16-0082-04
Abstract： Mechanics of materials is an important compulsory course for students majoring in mechanical engineering. However， the traditional teaching methods of material mechanics pays too much attention to the classroom instruction of basic theoretical knowledge and the training of problem solving skills， and there are shortcomings in integrating theory with practice. By means of numerical simulation， this paper attempts to introduce the idea of project-based instruction into the teaching process of material mechanics， and gives a general method and a specific demonstration case. This method is helpful to cultivate students" scientific literacy of analyzing and solving problems， and to improve their ability of solving practical engineering problems with computers. It has achieved good results in teaching practice.
Keywords： mechanics of materials; numerical simulation; project-based instruction
材料力学是机械类工科专业本科生必修的学科基础骨干课程，在整个课程体系中占据着承上启下的重要位置。然而，一般的材料力学教学内容与教学模式大多还是沿袭传统的经验，与产业发展的技术方向和就业需求的联系不够紧密，与“新工科建设”的内涵与要求相比存在较大的差距。例如，传统的材料力学仅研究最简单的杆件系统，其理论知识很难直接应用于工程实际问题。目前工业界对于复杂的工程问题已经能够大量运用先进的数值模拟软件进行分析解决，而传统的材料力学教学过程过于强调基础理论知识的讲授和解题技巧的训练，忽略了学生对于现代建模分析工具的掌握，导致学生只能解决书本上的简单问题，就业后面对工程中复杂的实际问题时却无从下手。针对以上问题，国内高等院校在材料力学课程体系、教学内容以及教学方法改革等方面进行了大量的尝试，取得了一定的成果。例如，一方面，在教学过程中通过引入工程案例，采用项目式、课题式教学法，以课题研究为导向引导学生培养理论联系实际的分析能力[1-4];另一方面，在教学手段上，通过引入有限元数值模拟技术，以更加直观形象的方式加深学生对知识点的理解，弥补实验教学的不足，增加教学过程的趣味性[5-11]。本文尝试将以上两个方面的有益经验进行结合，提出基于数值模拟的材料力学课题式教学模式，并给出一个示范教学的典型案例。
一、思路与方法
基于数值模拟的材料力学课题式教学的基本思路是：以工程实际需求为导向，将材料力学课程中的重点、难点内容提炼成一系列课题;学生在教师的指导下应用数值模拟软件完成课题研究。通过课题式的训练，学生将对相关知识点获得更加深刻的理解，初步掌握力学有限元数值模拟应用技能，提升利用计算机解决工程实际问题的能力，为进一步深造研究打下良好的基础，或为以后的就业提供更强的竞争力。
课题式教学是将学习、设计、研究贯穿于课程教学始终的一种教学模式，它打破了旧模式下的满堂灌，学生在教师指导下开展学习、研究、讨论和设计，把教、学、做三者有机地结合在一起[2]。与传统的传递——接受式教学模式相比，课题式教学在教学目标、教学形式和教学评价方面都有很大的不同，其最大的特点就是把教学内容和教学手段课题化，强调理论知识与工程实践的有机融合，重视学生综合素质与技能的培养，重视学生主体作用和学习主动性的发挥。
力学问题的数值模拟一般是指应用有限元分析理论在计算机上建立模拟真实工况的力学模型，通过数值计算获得结构的应力、应变等结果，并以可视化的形式进行展示的方法。数值模拟技术在工程界已经得到广泛应用，在产品的设计、优化等方面发挥了越来越重要的作用。将数值模拟技术引入材料力学课题式教学过程，可以更好地激发学生的学习兴趣，让学生较早地接触工程CAE的思想，提升利用计算机解决工程实际问题的能力。目前流行的通用型有限元数值模拟软件大多具有友好的人机交互界面、清晰的建模流程以及完善的前后处理功能，均可应用于本文所述的材料力学课题式教学。考虑到大多数本科生不具备有限元分析的理论基础，在教学中应尽量避免让学生过多地纠结于数值模拟过程的具体细节，而是更多地聚焦于对力学问题本身的研究，充分利用交互式的数值模拟技术对材料力学问题依赖某些参数变化的规律获得更加直观形象的深刻理解。
二、课题式教学环节设计
考虑到目前各高校材料力学课堂教学学时数普遍非常紧张的现状，本文所提出的课题式教学主要以学生兴趣小组的形式利用课外时间来完成。在实施过程中教师仅需在适当的节点进行少量的课堂講解，这样既不会对传统的课堂教学造成较大的影响，还能有效提高课堂教学的效果，成为课堂教学的有益补充。根据笔者教学实践的经验，本文将基于数值模拟的材料力学课题式教学过程主要按照“课题准备-课题实施-考核与评价”三个环节来进行设计，其中每个环节的具体内容如下：
（一）课题准备
课题式教学的开展需要以学生具备基本的材料力学基本概念和知识为前提，因此该项工作宜安排在学期中后期进行。课题准备是整个教学过程的关键环节，充分的课题准备工作是后续环节得以顺利开展的必要条件。因此，在课题准备阶段教师需要花费一定的精力主要做好以下三个方面的工作。
1. 示范教学
教师可结合材料力学课程教学的实际进程，选择一个典型的材料力学问题作为示范教学的案例，采用课堂教学的形式，利用大约1个学时的时间，给学生详细演示针对给定问题进行课题式研究的全过程。通过示范教学可以让学生对课题式研究的基本方法和流程，以及数值模拟软件的使用建立起初步的概念，同时也能够激发学生进行课题式研究的兴趣。本文后面给出了一个针对薄壁圆筒扭转切应力公式应用范围进行研究的示范教学案例，以供参考和借鉴。
2. 选题与分组
在课题的选择上，采用教师指定题目与学生自选题目相结合的形式。一方面，教师通过对材料力学课程知识体系的研究分析，把一些重点、难点内容提炼成一系列课题供学生选择;另一方面，也鼓励学生结合自己的兴趣和特长自行拟定研究课题。每个课题都应围绕着具有启发性的工程实际背景展开，具有明确的目标，且适合于利用数值模拟软件进行研究。选题确定后，以课题任务书的形式进行明确。学生按照所选课题进行自由组合分组，每个课题小组的人数控制在4～6人，并在小组内指定一名学生担任组长，负责课题的组织、协调与推进。另外，组长应将组内学生按照特长和知识经验的差异进行合理分工，以保证每位学生都能积极主动地参与课题研究的全过程。
3. 数值模拟软件学习
教师针对材料力学问题数值模拟的特点，选择合适的数值模拟软件，编写一份简明的软件操作手册发给学生进行软件使用的学习。该操作手册应包含一个数值模拟案例的完整操作步骤。学生按照操作手册的指引一步步动手操作完成案例分析的全过程，花大约1周的时间即可初步掌握使用软件进行几何建模、定义约束、施加载荷、网格划分、计算、后处理的基本技能。
（二）课题实施
考虑到各个课题所涉及的材料力学知识点不一样，具体课题的实施时间需要与课程教学进程相衔接，因此可以考虑采用分批启动的方式来进行。每个课题实施的周期大约控制在2周以内。课题实施环节主要包含以下内容：
1. 分析问题
首先由教师引导学生理解与课题相关的概念、背景和理论知识，提出解决问题的技术路线建议。学生则根据任务书的要求明确研究目标，然后带着问题去查阅相关文献资料，并以小组为单位对搜集到的资料进行分析、提炼与总结，确定课题研究的初步思路。这一阶段重点锻炼学生查阅、分析资料的能力，为后续研究奠定基础。
2. 确定研究方案
学生在掌握相关理论知识并进行文献资料分析的基础上，通过小组讨论确定课题研究方案。研究方案应有具体的研究内容和研究计划，并根据课题组成员的特长和能力进行分工。在这一阶段，教师不宜过度参与，仅在必要时辅助学生对课题方案进行适当的可行性分析。
3. 数值模拟与结果分析
学生在课题组内协同完成所选问题的力学建模与数值计算，通过调节某些参数来研究相关问题依赖参数变化的规律，最后得到研究结论并撰写研究报告。在这一阶段，教师主要利用课外时间解答学生关于软件操作的问题，引导学生对数值模拟结果的正确性进行分析。
（三）考核与评价
考虑到每个课题的启动与完成时间不一样，考核与评价工作也可分批次进行。每个课题组应提交研究报告，并向全班学生进行汇报和演示。这一阶段教师主要针对在研究过程中出现的难点问题和共性问题进行讲解，引导学生进行讨论，并采用学生自评、小组互评和教师评价的方式对每个课题组的工作进行发展性和过程性的评价，评价结果以一定比例计入每个学生的课程成绩。通过把课题研究的过程与效果纳入课程的评价体系，在一定程度上改进了传统上考试决定成绩的单一评价方式。
三、示范教学案例
示范教学是课题式教学过程中课题准备环节的一个重要内容。通过教师对典型材料力学问题进行课题式研究全过程的演示与讲解，旨在让学生对课题研究的基本方法和流程，以及数值模拟软件的使用建立起初步的概念。下面以薄壁圆筒扭转切应力公式应用范围研究为例，给出一个具体的示范教学案例。
（一）问题导入
一般材料力学教材给出的薄壁圆筒扭转时的横截面切应力公式如下：
式中T为横截面上的扭矩，δ为圆筒壁厚，r0为圆筒的平均半径。
公式（1）是基于“薄壁”和“切应力在截面上均匀分布”的假设推导出来的，其实质上计算的是薄壁圆筒横截面上的平均切应力。但是在教学实践中发现，对于圆筒的壁厚在什么范围内才算是薄壁，该公式的计算误差随壁厚的变化有什么规律等问题，学生往往感到迷惑。因此，这个问题非常适合作为一个小课题，应用本文提出的课题式教学模式引导学生进行拓展性研究。
（二）分析问题
首先引导学生认识到薄壁圆筒是空心圆轴的一个特例，而一般空心圆轴扭转时横截面上的最大切应力公式易推导得到如下形式：
式中T为横截面上的扭矩，D和d分别为空心圆轴的外径和内径。显然公式（2）也适用于计算薄壁圆筒扭转的切应力，且具有更高的精度，因此其计算结果可作为参考的基准。
其次，引导学生查阅文献，发现刁海林[12]通过理论推导给出了薄壁圆筒扭转切应力公式的应用范围。王魁等[13]通过理论推导得到了空心轴机械强度计算的公式，并进行了有限元数值模拟计算。这些工作可作为本课题研究的重要参考。
（三）确定研究方案
在以上分析基础上，可以确定课题研究的方案：针对一个空心圆轴扭转的具体实例，分别用公式（1）、公式（2）和数值模拟方法计算出空心轴壁厚从小到大变化时中间截面上的最大切应力，然后以公式（2）的计算结果为基准，根据一般工程精度的要求来确定公式（1）的应用范围;同时将数值模拟计算的结果与公式（2）的计算结果进行比较以验证数值模拟的正确性。
（四）数值模拟与结果分析
参考材料扭转实验的一般方法，选用空心圆轴的长度为120mm，外径D为10mm，内径d随k值变化，圆轴一端固定，另一端施加外力偶矩Me=5N·m。根据以上设定，可在数值模拟软件中直接建立空心圆轴的几何模型与物理模型，并生成有限元计算网格（图1）。
为了考察壁厚变化时的截面应力变化规律，引入相对壁厚系数k，建立空心圆轴壁厚与外径和内径的联系如下：
式中δ、D、d、d0分别为空心圆轴的壁厚、外径、内径和平均直径。令k取0到1区间内的若干值分别进行计算。计算完成后经后处理即可得到相关结果的可视化图像。根据圣维南原理，载荷的施加方式仅对其作用区域附近的应力分布影响较大，因此选用离力偶作用面较远的中间截面进行切应力分析。
图2给出了数值模拟计算得到的k=0.5时空心圆轴中间截面的切应力分布。从图中可见截面内切应力的绝对值沿径向由内向外增大，且在离圆心距离相等的圆周上切应力的大小相等。这个图像与材料力学教材给出的结论是一致的，这也定性地验证了数值模拟计算的正确性。
图2 空心轴中间截面切应力分布（k=0.5095）
图3给出了数值计算得到的空心圆轴中间截面最大切应力随k值变化曲线，同时还画出了公式（1）和公式（2）的计算结果进行比较。从图中可见，按公式（1）和公式（2）计算得到的曲线在左右两端重合度较高，但在中部存在较大偏差。而数值模拟计算的结果与公式（2）计算的结果是几乎重合的。
进一步还可做相对误差的分析。从图4可见，用公式（1）计算的结果相对于用公式（2）计算的结果的相对误差E1随k值变化的曲线呈现为开口向下的抛物线形状：当k逐渐增大，也即壁厚逐渐增大时，切应力的相对误差E1也逐渐增大;当k=0.41時，相对误差E1达到最大值17.1%;之后随着k值增大，相对误差E1又逐渐减小。根据相对误差应满足一般工程精度的要求（<5%），可对公式（1）的适用范围作出量化界定：当k∈（0，0.0563]时，E1<5%，空心圆轴可称为“薄壁圆筒”，可用公式（1）计算;当k∈[0.894，1）时，E1<5%，空心圆轴可称作为“特厚壁空心圆轴”，也可用公式（1）进行计算;当k∈（0.0563，0.894）时，E1≥5%，需使用公式（2）进行计算。经比较，该结果与文献[12]给出的结论基本一致。从图4还可看出，数值模拟计算结果相对于用公式（2）计算的结果的相对误差E2在k值变化的整个范围内几乎为0，这也定量地验证了数值模拟的正确性。
通过本示范案例的讲解，一方面以直观的形式很好地回答了“薄壁圆筒到底有多薄”的问题，加深了学生对该知识点的理解;另一方面也让学生初步了解课题研究的完整流程，激发学生的学习兴趣，充分调动学生参与课题式教学的积极性。
四、结束语
本文以数值模拟技术为手段，将课题式教学的理念引入材料力学教学过程，给出了基于数值模拟的材料力学课题式教学设计的一般方法和一个具体的示范教学案例。教学实践表明，通过将材料力学知识点转化成为一个个课题任务，将被动接受式学习转化成为主动探索式研究，能够极大地激发学生的学习兴趣，加深学生对相关知识点的理解。更有意义的是，通过课题式的训练，有助于培养学生分析问题、解决问题的科学素养，同时也可以使学生初步掌握力学有限元数值模拟技术，提升利用计算机解决工程实际问题的能力。
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